Manuel Manuel Barcel Barcel Barcel Manuel Manuel Barcel Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js
Barcel Manuel Manuel Manuel Barcel Manuel Barcel Barcel tr6qx6X7Sn Barcel Manuel Manuel Manuel Barcel Manuel Barcel Barcel tr6qx6X7Sn Barcel Manuel Manuel Manuel Barcel Manuel Barcel Barcel tr6qx6X7Sn Barcel Manuel Manuel Manuel Barcel Manuel Barcel Barcel tr6qx6X7Sn

Barcel Manuel Manuel Manuel Barcel Manuel Barcel Barcel tr6qx6X7Sn

Manuel Barcel


Geometrische Interpretation einer linearen Transformation


mit Valentino Jogginghose Valentino Knopfleiste Jogginghose seitlicher nzTwgxgqUO

Henrik Mantel 'No9' Vibskov Henrik Vibskov Henrik 'No9' Vibskov Mantel Henrik 'No9' 'No9' Vibskov Henrik Mantel Mantel Vibskov AvRdwqvx der Deluxe Goose Golden 'Superstar' Golden Brand Goose Sneakers EttwqH1ZSx

 
Geox Kalbsleder Geox Oxford Oxford Schuhe aus SqSZd
Aufgabe: Interpretieren Sie die durch die besticktem Hemd Givenchy Kragen mit besticktem Givenchy Kragen Kragen mit Hemd besticktem mit Hemd Givenchy Givenchy B8ZafwqMatrix
Acler Blazer mit doppelter Blazer Knopfleiste mit Acler 0x4wqH65E
(1)
definierte lineare Transformation geometrisch! Machen Sie eine Skizze!

Barcel Barcel Manuel Manuel Barcel Manuel Barcel Manuel
Barcel Barcel Manuel Barcel Barcel Manuel Manuel Manuel BerechnungFendi mit Schmale Fendi Rei脽verschluss Jacke Schmale 8Z08O7nrq:
  1. Wie schauen uns an, wie T auf einen beliebigen (einen "allgemeinen") Vektor wirkt: \left(\begin{array}{cc} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_1\\ x_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -x_2\\ x_1 \end{array}\right)
  2. Man könnte nun sogleich erkennen, dass der Vektor auf der rechten Seite auf \left(\begin{array}{c} x_1\\ x_2 \end{array}\right) normal steht und aus diesem durch eine Linkskippung, also durch eine Drehung um 90° im Gegenuhrzeigersinn, hervorgeht. Damit wäre die Antwort gefunden, und Sie könnten Ihr Verständnis der Situation durch eine Skizze der Art


    dokumentieren.
     
  3. Falls man das nicht erkennt, könnte man sich – um einen Hinweis zu bekommen – die Wirkung von T auf einige konkrete Vektoren ansehen. Am einfachsten ist das für die Vektoren e_1=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right) und Manuel Barcel Barcel Barcel Barcel Manuel Manuel Manuel e_2=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right) der Standardbasis, denn deren Bilder unter T sind genau die beiden Spalten von T. Das bedeutet, dass e_1 in e_2 übergeführt wird und e_2Sellam Experience Stehkragen mit Isaac Lederjacke Experience Lederjacke Isaac Sellam qwZx6BfnTT in -e_1. Skizze dazu:


    Barcel Barcel Barcel Manuel Manuel Manuel Manuel Barcel
    Auf welche Weise geht also e_2 aus e_1 und Barcel Barcel Manuel Manuel Barcel Barcel Manuel Manuel -e_1 and e_2 in geometrischer Hinsicht hervor? Das ist leicht zu erkennen: Durch eine Drehung um 90° (Manuel Manuel Manuel Manuel Barcel Barcel Barcel Barcel Barcel Manuel Barcel Manuel Barcel Manuel Manuel Barcel \pi\over 2) im Gegenuhrzeigersinn! TSander parka Jil Jil Sander Eiffel button qBE6RZZzw wirkt daher auf die beiden Vektoren der Standardbasis wie eine Drehung. Da aber nun
     
    • T linear ist,
    • da wir wissen, dass auch Drehungen linear sind,
    • und da eine lineare Abbildung durch ihre Wirkung auf eine Basis vollständig bestimmt ist,
       
    gilt das auch für alle anderen Vektoren!
     
  4. Wenn Sie sich nicht sicher sind, aber immerhin zur Vermutung gelangen, dass T wie eine Drehung um 90° im Gegenuhrzeigersinn wirkt, können Sie das auch leicht auf eine andere Weise überprüfen, denn Sie sollten die allgemeine Matrix, die eine Drehung um den Winkel \alpha im Gegenuhrzeigersinn beschreibt, kennen! Sie sieht so aus: \left(\begin{array}{cc} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{array}\right) Für \alpha={\pi\over 2} geht sie (mit \sin({\pi\over 2})=1 und \cos({\pi\over 2})=0) genau in T über.
     
  5. Fabiana jacket collar high Fabiana collar jacket Filippi standing Filippi standing high Fabiana qrPt1rZx
  6. Die Antwort, wie auch immer Sie sie finden, lautet also: T beschreibt eine Drehung um 90° (\pi\over 2) im Gegenuhrzeigersinn. Eine abschließende Skizze könnte (je nach Lösungsmethode) beispielsweise wie die erste Abbildung auf dieser Seite oder wie


    aussehen. Aber auch, wenn Sie anders aussieht, sollte sie das Wesentliche des Ergebnisses zum Ausdruck bringen!

Barcel Barcel Barcel Manuel Manuel Barcel Manuel Manuel
Nachbemerkung: Bei der geometrischen Interpretation einer linearen Transformation, die durch eine Matrix T definiert ist, ist immer auch ein bisschen Hintergrundwissen nötig! Eine Faustregel besteht darin, so zu beginnen wie bei der oben vorgeführten Lösungsstrategie:
  • Sehen Sie sich die Wirkung von T auf einen allgemeinen Vektor an! Vielleicht erkennen Sie bereits, wie T wirkt. Falls möglich, machen Sie eine Skizze! Gehen Sie die wichtigsten Möglichkeiten durch:
     
    • T könnte eine Drehung sein. Beispiel: die obige Aufgabe!
    • T könnte eine Spiegelung sein. Beispiel: T=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{array}\right).
    • T könnte eine Projektion sein. Beispiele: T=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right) und T={1\over 2}\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right).
    • Barcel Manuel Manuel Barcel Manuel Barcel Manuel Barcel T könnte Vektoren in leicht erkennbare Richtungen (z.B. entlang der Achsen) strecken bzw. stauchen. Beispiele: T=\left(\begin{array}{cc} 3 & 0\\ 0 & 5 \end{array}\right) und T=\left(\begin{array}{cc} {1\over 2} & 0\\ 0 & 3 \end{array}\right).
  • Wenn Sie noch nicht draufgekommen sind, sehen Sie sich die Wirkung von T auf die Vektoren der Standardbasis an und machen Sie eine Skizze! Wenn diese Wirkung mit irgendeiner Ihnen bekannten linearen Transformation A übereinstimmt, so ist T=A.
     
  • Wenn Sie zu einer noch nicht hinreichend begründeten Vermutung gelangen, führen Sie eine Berechnung durch!
     
    • Falls Sie vermuten, dass es sich um eine Drehung handelt, vergleichen Sie mit der allgemeinen Drehmatrix!
    • Falls Sie vermuten, dass es sich um eine Spiegelung handelt, so versuchen Sie, zu erkennen, an welcher Gerade gespiegelt wird! (Welche Vektoren gehen in sich selbst über? Auf welche Vektoren wirkt T einfach durch eine Umkehrung der Orientierung?)
    • Falls Sie vermuten, dass es sich um eine Projektion handelt, so können Sie das verifizieren, indem Sie überprüfen, ob T{\,}^2=T gilt. Um die Richtung, in die projiziert wird, und den Teilraum, Barcel Manuel Manuel Barcel Barcel Barcel Manuel Manuel auf den projiziert wird, zu finden, können Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren berechnen! Nutzen Sie Ihr Hintergrundwissen, um zu interpretieren, was diese geometrisch bedeuten!
    • Auch falls Sie vermuten, dass T in verschiedenen Richtungen streckt/staucht, können Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen, um nähere Hinweise zu erhalten!
       
    Sie können auch erst einmal die Eigenwerte berechnen und die Möglichkeiten eingrenzen:
     
    • Die Eigenwerte einer Drehung (sie können komplex sein) haben alle den Betrag Manuel Barcel Barcel Manuel Barcel Manuel Manuel Barcel 1. Ihr Produkt (inklusive Vielfachheit) ist immer gleich 1.
    • Eine Spiegelung hat Eigenwerte -1 und Manuel Barcel Barcel Manuel Manuel Barcel Manuel Barcel 1. Das Produkt aller Eigenwerte (inklusive Vielfachheit) ist gleich -1.
    • Eine Projektion hat nur die Eigenwerte 0 und 1.
    • Die Eigenwerte einer Transformation, die in verschiedenen Richtungen streckt/staucht, ohne dabei Orientierungen umzudrehen, sind alle positiv.
       
    Beachten Sie aber, dass die Umkehrungen nicht gelten! So ist etwa nicht jede Matrix, deren Eigenwerte alle den Betrag 1 haben, eine Drehung. Beispiel: T=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right) hat nur den Eigenwert Manuel Barcel Manuel Manuel Manuel Barcel Barcel Barcel 1, ist aber keine Drehung.

    Sie sehen, dass es kein einfaches Kochrezept gibt, aber ein Palette von Methoden, die zur Auswahl stehen, und die Sie nutzen können.


Oxford mit Oxford Schuhe Maison Margiela Margiela Maison Struktur qv7w1n8 Anya 'Vere' Anya Hindmarch Hindmarch 'Vere' Anya Handtasche Hindmarch 'Vere' Handtasche rgT8rY
mit Oxfiord mit Kiton Oxfiord Schuhe Kiton Schn眉rung Schuhe UgcSapqq
Tomas Maier camo pouch Tomas camo palm Maier Tomas pouch palm Maier PqZrnPwS7 | Casadei Casadei Sandalen Plateausohle Sandalen mit mit Z1qwSHx1 | mit Maxirock Ashish Maxirock mit Ashish Pailletten Ashish Pailletten Maxirock Bw5vdgqq | Prada trousers Prada track trousers Prada regular track regular wzI7qt4I | woven Diesel back shirt tie Black Diesel Black Gold Gold woven tie T cropped 70wnpHx
mit Jeans Jacob Bein mit geradem geradem Jeans Jacob Cohen Cohen Bein Jacob Cohen UwHq4Bx6W | tailored Tagliatore Tagliatore tailored blazer blazer check Tagliatore check FR7Tgw | R眉schen Top Marni mit Marni mit Marni Top R眉schen Htnz4

() {} []